思泽湖畔——落园后花园

调情，是真的无聊到极致了么？

是寂寞，是孤单，还是无人倾诉的沉默。

还好明天就可以回家了，就可以和很多很多朋友重逢了。天涯很小，重逢有期。

只可惜，12个小时的时差，还是足以把一切的思念，用时间冲淡。

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偏见源于无知，但我还是觉得这东西很扯淡……human dynamics...果然是physician啊。

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不想过多的触碰太久以前的记忆，可是难免记忆泛滥成河。看着窗外的阳光灿烂，却想不出应该用一种什么样的方式来庆祝。
思念侵袭，拼命地想把眼睛闭上，却还是要面对这个脆弱的世界。时间，有的时候流逝的太过于无情。难免的，心就被不时的刺痛着，然后找个时间哗啦哗啦的泪流满面。

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快要离开巴塞了，忍不住开始收拾行李，一点点的堆到箱子里，发现也没有多少东西值得带回去的。
一年真的好快，仿佛昨天才来到这里似的，今天就要挥挥手作别了。然后，各奔东西。不知道应不应该怀念，不知道应不应该伤心。毕竟也是近一年的故事，不短、不长。
昨天觉得很委屈，一个论文答辩拖拖拉拉到了半夜，好像我是空气似的。算了，还是有办法搞定的。然后就这么磨磨蹭蹭的搞定了。想开了之后也没有啥太伤心的必要了，毕竟已然结束了。是的，今天答辩完之后，一切都结束了。
心里空空的，总想找个人出来走走、转转，免得自己一个人伤心。很多人都要离开了，离开也好，渐渐的体会人走茶凉的味道。或许这就是一种宿命似的东西吧，来了又走了，不知道什么时候是我们的终点。
回去，好吃的，好朋友，去未必抵挡得住这里的伤心。当时来的时候颇为匆忙，没有来得及一一的顾及和回忆，或许那个时候知道不久的将来自己还会回去。可是现在，要离开巴塞罗那，却是可能一去不复返吧。欧洲的生活，这么快就结束了。
留下了一些很深刻的记忆，然后埋藏在心底不时的作痛。痛就痛吧，痛过了人还是要振作的。时间总是最好的疗伤剂。
昨天吃饭的时候一同学说我 do well in economics，离开很可惜。呵呵，我想除了econ之外，我能做的事应该还有很多吧。希望时间能够见证我的成长。

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不知道为什么，最近身体里浪漫的细胞在被一点点激发。表面上平淡的安静的对答，自己却知道内心的汹涌。浪漫，或许是一种优雅的表达方式。
写诗越来越少，或许是因为越来越怕被感动。被感动，投入，就难免承受接下来的伤害。总被教育要勇敢的面对，无论是下雨刮风，还是简单的艳阳天。直白的诉说，是不是不够优雅，却最为有效。
晴天，坦言。然后发现心原来还是会扑扑的跳的厉害。说不出口的话，跟语言无关。有些东西在嘴边，却总是缺乏最后的那一点点勇气。不知道是怕承担责任，还是被无视，还是其他的种种。隐喻，却成为了大家共识下的游戏。
很多事情永远做不到，做不到，哪怕明明知道自己需要的只是一瞬间的勇气，也没有什么后果什么的。明知道等待是不明智的，却也乖乖的享受一种恬淡的氛围。醉，半醉，朦朦胧胧的。
一首诗，却跨不过语言的阻隔。原来，深深的眷恋，不曾是依赖。是不是不浪漫，反而对不起巴塞罗那这座浪漫主义者眼中的美丽停靠站了？

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小小煽情，起源于最近很热的一首小诗，原作者有争议，我在这里只贴原文了。

见或不见

你见，或者不见我 / 我就在那里 / 不悲不喜
你念，或者不念我 / 情就在那里 / 不来不去
你爱，或者不爱我 / 爱就在那里 / 不增不减
你跟，或者不跟我 / 我的手就在你手里 / 不舍不弃
来我的怀里 / 或者 / 让我住进你的心里
默然　相爱 /寂静　欢喜

多么希望，一觉醒来，所有的烟云，都已然化为灰烬。见或不见，就在那里。

最近总是睡不安稳，很多梦，很多梦，经常的在梦中，纠结着就惊醒。梦中，英文、西班牙文、中文交错，然后才意识到自己心中已然有了这么多怀念。突然发现在每个经过的城市，多多少少都有一个当伤心的时候喜欢流连的地方。怀念那涓涓泉水、点点星光，还有那风移影动、珊珊可爱。

喜欢那种“过客”的感觉，知道自己不用为之负担什么；却又尝尽作为过客的种种无可奈何，瑞雪兆丰年，只是丰年是别人的欢喜，与己无关。

想长长的醉一场，然后醒来发现一切未曾改变；想短短的梦一场，然后醒来发现一切未曾发生。事实总是残酷的。

泪， 越来越不争气，好像水一般便宜。不知道为什么，越来越脆弱，会脆弱的不争气的哗啦哗啦哭一场，然后问自己为什么要一个人出来面对这么多孤单。不愿承认，但 始终在过去的二十一年中始终还是被保护的太好了，总有一个温暖的家可以当作避风港，然后肆意的哭泣、哭泣。醒来之后发现太阳还是那般明亮、云彩还是那般洁 白、地球还是在不停的转着。然后渐渐的，渐渐的，就忘记了哭泣的原因，也便不再哭泣。

人生纵有缕不完的孤单。总在抱怨自己的不争气，至少现 在有互联网说打个电话也就一个电话打回家了，也不用对钱的问题太过担忧。想想几十年前，那些费尽艰辛辗转留学的人，受尽苦的苦，岂不是我现在所承受的千万 倍。但是始终，我还是在不争气的抱怨为什么自己不好好的呆着，要跑出来在一个没有人认识我的地方，孤单的开始全新的生活。学会自己照顾自己，学会在悲伤的 时候用微笑掩饰，学会的太多太多人生中的虚伪。然后现实残酷的告诉我，我永远达不到我想要做到的自己。不够聪明、不够坚强、不够坚定。春天到来了，花却不 会盛开，未来不见得明朗。

原来人长大了，心中的懦弱也会随着一起增长。恨自己不够坚强，总给自己的懦弱寻找理由。“人生的模式，归根到底，还是自己选择的”。如何才能做到，不悲不喜，不舍不弃。

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人家说“开始喜欢回忆了，说明人老了”。于是乎，为了证明自己年轻的存在，就不回忆了。

今天下了课，很开心的跑到海边，吹海风。越来 越惊叹于巴塞罗那充足而灿烂的阳光，简直就是天天艳阳啊，还不潮不干……这天气，真的是完美的无可挑剔了。周围的一片欧洲同学都在感慨巴塞的天气怎么能够 这么好呢？好的奢侈啊！现在才刚开春啊，巴塞就已经春风拂面游人醉了。怪不得说一入春从欧洲各种苦寒之地飞往巴塞罗那的航班都是满满当当的，有道理啊～

这么好的天气，沙滩上懒懒散散的停留着一簇簇悠闲的人。嗯，真美好，每次去沙滩都感慨生活居然可以如斯美妙～想想每日的忙碌，也就淡然和浮云了。

嗯， 下周有期中考，但是在这么一个美丽的城市考试，谁还会抱怨什么呢？人们总说西班牙人很懒，但是真的，换谁到了这里都不会想勤快起来吧？这么美好的生活，若 是无视之，岂不是太过分了？也难怪这座城市可以拥有高迪这种天才设计师，和圣家堂这种匪夷所思的教堂……嗯，人的想象就是在慵懒中成长泛滥的，哈哈。

重拾一份生活的优雅，不再急促、不再彷徨。嗯～

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在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research进展不多，对于数学世界的阅历算是有了一些长进。

为什么要深入数学的世界

作 为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要 想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我去做的题目，是对appearance和motion建立一个unified的model。这个题目在当今Computer Vision中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种Graphical Model把各种东西联合在一起framework，在近年的论文中并不少见。

我 不否认现在广泛流行的Graphical Model是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它不是panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和Vision中很多人一样，想着去做一个Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们相信，一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联系——这需要我们去发掘。

在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有很多。在这个过程中，我发现了两个事情：

• 我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
• 在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的研究者重视。

于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大的武器去面对这些问题的挑战。

我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应用究竟有何好处。

 

集合论：现代数学的共同基础

现 代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——集合论——因为 它，数学这个庞大的家族有个共同的语言。集合论中有一些最基本的概念：集合(set)，关系(relation)，函数(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单概念的理解，是进一步学些别的数学的基础。我相信，理工科大学生对于 这些都不会陌生。

不过，有一个很重要的东西就 不见得那么家喻户晓了——那就是“选择公理” (Axiom of Choice)。这个公理的意思是“任意的一群非空集合，一定可以从每个集合中各拿出一个元素。”——似乎是显然得不能再显然的命题。不过，这个貌似平常 的公理却能演绎出一些比较奇怪的结论，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一个球，能分成五个部分，对它们进行一系列刚性变换（平移旋转）后，能组合成两个一样大小的球”。正因为这些完全有悖常识的结论，导致数学界曾经在相当长时间里对于是否接受它有着激烈争论。现在，主流数学家对于它应该是基本接受的，因为很多数学分支的重要定理都依赖于它。在我们后面要回说到的学科里面，下面的定理依赖于选择公理：

1. 拓扑学：Baire Category Theorem
2. 实分析（测度理论）：Lebesgue 不可测集的存在性
3. 泛 函分析四个主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem

在集合论的基础上，现代数学有两大家族：分析(Analysis)和代数(Algebra)。至于其它的，比如几何和概率论，在古典数学时代，它们是和代数并列的，但是它们的现代版本则基本是建立在分析或者代数的基础上，因此从现代意义说，它们和分析与代数并不是平行的关系。

 

分析：在极限基础上建立的宏伟大厦

微积分：分析的古典时代——从牛顿到柯西

先 说说分析(Analysis)吧，它是从微积分(Caculus)发展起来 的——这也是有些微积分教材名字叫“数学分析”的原因。不过，分析的范畴远不只是这些，我们在大学一年级学习的微积分只能算是对古典分析的入门。分析研究 的对象很多，包括导数(derivatives)，积分(integral)，微分方程(differential equation)，还有级数(infinite series)——这些基本的概念，在初等的微积分里面都有介绍。如果说有一个思想贯穿其中，那就是极限——这是整个分析（不仅仅是微积分）的灵魂。

一 个很多人都听说过的故事，就是牛顿(Newton)和莱布尼茨 (Leibniz)关于微积分发明权的争论。事实上，在他们的时代，很多微积分的工具开始运用在科学和工程之中，但是，微积分的基础并没有真正建立。那个 长时间一直解释不清楚的“无穷小量”的幽灵，困扰了数学界一百多年的时间——这就是“第二次数学危机”。直到柯西用数列极限的观点重新建立了微积分的基本 概念，这门学科才开始有了一个比较坚实的基础。直到今天，整个分析的大厦还是建立在极限的基石之上。

柯 西(Cauchy)为分析的发展提供了一种严密的语言，但是他并没有解决微 积分的全部问题。在19世纪的时候，分析的世界仍然有着一些挥之不去的乌云。而其中最重要的一个没有解决的是“函数是否可积的问题”。我们在现在的微积分 课本中学到的那种通过“无限分割区间，取矩阵面积和的极限”的积分，是大约在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼积分。但是，什么函数存 在黎曼积分呢（黎曼可积）？数学家们很早就证明了，定义在闭区间内的连续函数是黎曼可积的。可是，这样的结果并不令人满意，工程师们需要对分段连续函数的 函数积分。

实分析：在实数理论和测度理论上建立起现代分析

在 19世纪中后期，不连续函数的可积性问题一直是分析的重要课题。对于定义在 闭区间上的黎曼积分的研究发现，可积性的关键在于“不连续的点足够少”。只有有限处不连续的函数是可积的，可是很多有数学家们构造出很多在无限处不连续的 可积函数。显然，在衡量点集大小的时候，有限和无限并不是一种合适的标准。在探讨“点集大小”这个问题的过程中，数学家发现实数轴——这个他们曾经以为已 经充分理解的东西——有着许多他们没有想到的特性。在极限思想的支持下，实数理论在这个时候被建立起来，它的标志是对实数完备性进行刻画的几条等价的定理 （确界定理，区间套定理，柯西收敛定理，Bolzano-Weierstrass Theorem和Heine-Borel Theorem等等）——这些定理明确表达出实数和有理数的根本区别：完备性（很不严格的说，就是对极限运算封闭）。随着对实数认识的深入，如何测量“点 集大小”的问题也取得了突破，勒贝格创造性地把关于集合的代数，和Outer content（就是“外测度”的一个雏形）的概念结合起来，建立了测度理论(Measure Theory)，并且进一步建立了以测度为基础的积分——勒贝格(Lebesgue Integral)。在这个新的积分概念的支持下，可积性问题变得一目了然。

上 面说到的实数理论，测度理论和勒贝格积分，构成了我们现在称为实分析 (Real Analysis)的数学分支，有些书也叫实变函数论。对于应用科学来说，实分析似乎没有古典微积分那么“实用”——很难直接基于它得到什么算法。而且， 它要解决的某些“难题”——比如处处不连续的函数，或者处处连续而处处不可微的函数——在工程师的眼中，并不现实。但是，我认为，它并不是一种纯数学概念 游戏，它的现实意义在于为许多现代的应用数学分支提供坚实的基础。下面，我仅仅列举几条它的用处：

1. 黎 曼可积的函数空间不是完备的，但是勒贝格可积的函数空间是完备的。简单的 说，一个黎曼可积的函数列收敛到的那个函数不一定是黎曼可积的，但是勒贝格可积的函数列必定收敛到一个勒贝格可积的函数。在泛函分析，还有逼近理论中，经 常需要讨论“函数的极限”，或者“函数的级数”，如果用黎曼积分的概念，这种讨论几乎不可想像。我们有时看一些paper中提到Lp函数空间，就是基于勒 贝格积分。
2. 勒贝格积分是傅立叶变换（这东西在工程中到处都是）的基础。很多关于信号处理的初等教材，可能绕过了勒贝格积分，直接讲点面对实用的东西而不谈它的数学基础，但是，对于深层次的研究问题——特别是希望在理论中能做一些工作——这并不是总能绕过去。
3. 在下面，我们还会看到，测度理论是现代概率论的基础。

拓扑学：分析从实数轴推广到一般空间——现代分析的抽象基础

随 着实数理论的建立，大家开始把极限和连续推广到更一般的地方的分析。事实 上，很多基于实数的概念和定理并不是实数特有的。很多特性可以抽象出来，推广到更一般的空间里面。对于实数轴的推广，促成了点集拓扑学(Point- set Topology)的建立。很多原来只存在于实数中的概念，被提取出来，进行一般性的讨论。在拓扑学里面，有4个C构成了它的核心：

1. Closed set（闭集合）。在现代的拓扑学的公理化体系中，开集和闭集是最基本的概念。一切从此引申。这两个概念是开区间和闭区间的推广，它们的根本地位，并不是 一开始就被认识到的。经过相当长的时间，人们才认识到：开集的概念是连续性的基础，而闭集对极限运算封闭——而极限正是分析的根基。
2. Continuous function （连续函数）。连续函数在微积分里面有个用epsilon-delta语言给出的定义，在拓扑学中它的定义是“开集的原像是开集的函数”。第二个定义和第 一个是等价的，只是用更抽象的语言进行了改写。我个人认为，它的第三个（等价）定义才从根本上揭示连续函数的本质——“连续函数是保持极限运算的函数” ——比如y是数列x1, x2, x3, … 的极限， 那么如果 f 是连续函数，那么 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的极限。连续函数的重要性，可以从别的分支学科中进行类比。比如群论中，基础的运算是“乘法”，对于群，最重要的映射叫“同态映射”——保持“乘法”的 映射。在分析中，基础运算是“极限”，因此连续函数在分析中的地位，和同态映射在代数中的地位是相当的。
3. Connected set （连通集合）。比它略为窄一点的概念叫(Path connected)，就是集合中任意两点都存在连续路径相连——可能是一般人理解的概念。一般意义下的连通概念稍微抽象一些。在我看来，连通性有两个重 要的用场：一个是用于证明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，还有就是代数拓扑，拓扑群论和李群论中讨论根本群(Fundamental Group)的阶。
4. Compact set（紧集）。Compactness似乎在初等微积分里面没有专门出现，不过有几条实数上的定理和它其实是有关系的。比如，“有界数列必然存在收敛子 列”——用compactness的语言来说就是——“实数空间中有界闭集是紧的”。它在拓扑学中的一般定义是一个听上去比较抽象的东西——“紧集的任意 开覆盖存在有限子覆盖”。这个定义在讨论拓扑学的定理时很方便，它在很多时候能帮助实现从无限到有限的转换。对于分析来说，用得更多的是它的另一种形式 ——“紧集中的数列必存在收敛子列”——它体现了分析中最重要的“极限”。Compactness在现代分析中运用极广，无法尽述。微积分中的两个重要定 理：极值定理(Extreme Value Theory)，和一致收敛定理(Uniform Convergence Theorem)就可以借助它推广到一般的形式。

从某种意义上说，点集拓扑学可以看成是关于“极限”的一般理论，它抽象于实数理论，它的概念成为几乎所有现代分析学科的通用语言，也是整个现代分析的根基所在。

微分几何：流形上的分析——在拓扑空间上引入微分结构

拓 扑学把极限的概念推广到一般的拓扑空间，但这不是故事的结束，而仅仅是开 始。在微积分里面，极限之后我们有微分，求导，积分。这些东西也可以推广到拓扑空间，在拓扑学的基础上建立起来——这就是微分几何。从教学上说，微分几何 的教材，有两种不同的类型，一种是建立在古典微机分的基础上的“古典微分几何”，主要是关于二维和三维空间中的一些几何量的计算，比如曲率。还有一种是建 立在现代拓扑学的基础上，这里姑且称为“现代微分几何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓扑空间的基础上加了一套可以进行微 分运算的结构。现代微分几何是一门非常丰富的学科。比如一般流形上的微分的定义就比传统的微分丰富，我自己就见过三种从不同角度给出的等价定义——这一方 面让事情变得复杂一些，但是另外一个方面它给了同一个概念的不同理解，往往在解决问题时会引出不同的思路。除了推广微积分的概念以外，还引入了很多新概 念：tangent space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。

近 些年，流形在machine learning似乎相当时髦。但是，坦率地说，要弄懂一些基本的流形算法， 甚至“创造”一些流形算法，并不需要多少微分几何的基础。对我的研究来说，微分几何最重要的应用就是建立在它之上的另外一个分支：李群和李代数——这是数 学中两大家族分析和代数的一个漂亮的联姻。分析和代数的另外一处重要的结合则是泛函分析，以及在其基础上的调和分析。

 

代数：一个抽象的世界

关于抽象代数

回过头来，再说说另一个大家族——代数。

如果说古典微积分是分析的入门，那么现代代数的入门点则是两个部分：线性代数(linear algebra)和基础的抽象代数(abstract algebra)——据说国内一些教材称之为近世代数。

代 数——名称上研究的似乎是数，在我看来，主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构。在主 要的代数结构中，最简单的是群(Group)——它只有一种符合结合率的可逆运算，通常叫“乘法”。如果，这种运算也符合交换率，那么就叫阿贝尔群 (Abelian Group)。如果有两种运算，一种叫加法，满足交换率和结合率，一种叫乘法，满足结合率，它们之间满足分配率，这种丰富一点的结构叫做环(Ring)， 如果环上的乘法满足交换率，就叫可交换环(Commutative Ring)。如果，一个环的加法和乘法具有了所有的良好性质，那么就成为一个域(Field)。基于域，我们可以建立一种新的结构，能进行加法和数乘，就 构成了线性代数(Linear algebra)。

代 数的好处在于，它只关心运算规则的演绎，而不管参与运算的对象。只要定义恰 当，完全可以让一只猫乘一只狗得到一头猪:-)。基于抽象运算规则得到的所有定理完全可以运用于上面说的猫狗乘法。当然，在实际运用中，我们还是希望用它 干点有意义的事情。学过抽象代数的都知道，基于几条最简单的规则，比如结合律，就能导出非常多的重要结论——这些结论可以应用到一切满足这些简单规则的地 方——这是代数的威力所在，我们不再需要为每一个具体领域重新建立这么多的定理。

抽 象代数有在一些基础定理的基础上，进一步的研究往往分为两个流派：研究有限 的离散代数结构（比如有限群和有限域），这部分内容通常用于数论，编码，和整数方程这些地方；另外一个流派是研究连续的代数结构，通常和拓扑与分析联系在 一起（比如拓扑群，李群）。我在学习中的focus主要是后者。

线性代数：“线性”的基础地位

对 于做Learning, vision, optimization或者statistics的人来说，接触最多的莫过于线性代数——这也是我们在大学低年级就开始学习的。线性代数，包括建立在它 基础上的各种学科，最核心的两个概念是向量空间和线性变换。线性变换在线性代数中的地位，和连续函数在分析中的地位，或者同态映射在群论中的地位是一样的 ——它是保持基础运算（加法和数乘）的映射。

在 learning中有这样的一种倾向——鄙视线性算法，标榜非线性。也许在 很多场合下面，我们需要非线性来描述复杂的现实世界，但是无论什么时候，线性都是具有根本地位的。没有线性的基础，就不可能存在所谓的非线性推广。我们常 用的非线性化的方法包括流形和kernelization，这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射，通过把许多局部线 性空间连接起来形成非线性；而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间，再进行线性空间中所能 进行的操作。而在分析领域，线性的运算更是无处不在，微分，积分，傅立叶变换，拉普拉斯变换，还有统计中的均值，通通都是线性的。

泛函分析：从有限维向无限维迈进

在 大学中学习的线性代数，它的简单主要因为它是在有限维空间进行的，因为有 限，我们无须借助于太多的分析手段。但是，有限维空间并不能有效地表达我们的世界——最重要的，函数构成了线性空间，可是它是无限维的。对函数进行的最重 要的运算都在无限维空间进行，比如傅立叶变换和小波分析。这表明了，为了研究函数（或者说连续信号），我们需要打破有限维空间的束缚，走入无限维的函数空 间——这里面的第一步，就是泛函分析。

泛函分 析(Functional Analysis)是研究的是一般的线性空间，包括有限维和无限维，但是很多东西在有限维下显得很trivial，真正的困难往往在无限维的时候出现。在 泛函分析中，空间中的元素还是叫向量，但是线性变换通常会叫作“算子”(operator)。除了加法和数乘，这里进一步加入了一些运算，比如加入范数去 表达“向量的长度”或者“元素的距离”，这样的空间叫做“赋范线性空间”(normed space)，再进一步的，可以加入内积运算，这样的空间叫“内积空间”(Inner product space)。

大家发现，当进入无限维的时间时，很多老的观念不再适用了，一切都需要重新审视。

1. 所有的有限维空间都是完备的（柯西序列收敛），很多无限维空间却是不完备的（比如闭区间上的连续函数）。在这里，完备的空间有特殊的名称：完备的赋范空间叫巴拿赫空间(Banach space)，完备的内积空间叫希尔伯特空间(Hilbert space)。
2. 在有限维空间中空间和它的对偶空间的是完全同构的，而在无限维空间中，它们存在微妙的差别。
3. 在有限维空间中，所有线性变换（矩阵）都是有界变换，而在无限维，很多算子是无界的(unbounded)，最重要的一个例子是给函数求导。
4. 在有限维空间中，一切有界闭集都是紧的，比如单位球。而在所有的无限维空间中，单位球都不是紧的——也就是说，可以在单位球内撒入无限个点，而不出现一个极限点。
5. 在 有限维空间中，线性变换（矩阵）的谱相当于全部的特征值，在无限维空间 中，算子的谱的结构比这个复杂得多，除了特征值组成的点谱(point spectrum)，还有approximate point spectrum和residual spectrum。虽然复杂，但是，也更为有趣。由此形成了一个相当丰富的分支——算子谱论(Spectrum theory)。
6. 在 有限维空间中，任何一点对任何一个子空间总存在投影，而在无限维空间中， 这就不一定了，具有这种良好特性的子空间有个专门的名称切比雪夫空间(Chebyshev space)。这个概念是现代逼近理论的基础(approximation theory)。函数空间的逼近理论在Learning中应该有着非常重要的作用，但是现在看到的运用现代逼近理论的文章并不多。

继续往前：巴拿赫代数，调和分析，和李代数

基 本的泛函分析继续往前走，有两个重要的方向。第一个是巴拿赫代数 (Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空间（完备的内积空间）的基础上引入乘法（这不同于数乘）。比如矩阵——它除了加法和数乘，还能做乘法——这就构成了一 个巴拿赫代数。除此以外，值域完备的有界算子，平方可积函数，都能构成巴拿赫代数。巴拿赫代数是泛函分析的抽象，很多对于有界算子导出的结论，还有算子谱 论中的许多定理，它们不仅仅对算子适用，它们其实可以从一般的巴拿赫代数中得到，并且应用在算子以外的地方。巴拿赫代数让你站在更高的高度看待泛函分析中 的结论，但是，我对它在实际问题中能比泛函分析能多带来什么东西还有待思考。

最 能把泛函分析和实际问题在一起的另一个重要方向是调和分析 (Harmonic Analysis)。我在这里列举它的两个个子领域，傅立叶分析和小波分析，我想这已经能说明它的实际价值。它研究的最核心的问题就是怎么用基函数去逼近 和构造一个函数。它研究的是函数空间的问题，不可避免的必须以泛函分析为基础。除了傅立叶和小波，调和分析还研究一些很有用的函数空间，比如Hardy space，Sobolev space，这些空间有很多很好的性质，在工程中和物理学中都有很重要的应用。对于vision来说，调和分析在信号的表达，图像的构造，都是非常有用的 工具。

当分析和线性代数走在一起，产生了泛函 分析和调和分析；当分析和群论走在一 起，我们就有了李群(Lie Group)和李代数(Lie Algebra)。它们给连续群上的元素赋予了代数结构。我一直认为这是一门非常漂亮的数学：在一个体系中，拓扑，微分和代数走到了一起。在一定条件下， 通过李群和李代数的联系，它让几何变换的结合变成了线性运算，让子群化为线性子空间，这样就为Learning中许多重要的模型和算法的引入到对几何运动 的建模创造了必要的条件。因此，我们相信李群和李代数对于vision有着重要意义，只不过学习它的道路可能会很艰辛，在它之前需要学习很多别的数学。

 

现代概率论：在现代分析基础上再生

最 后，再简单说说很多Learning的研究者特别关心的数学分支：概率论。 自从Kolmogorov在上世纪30年代把测度引入概率论以来，测度理论就成为现代概率论的基础。在这里，概率定义为测度，随机变量定义为可测函数，条 件随机变量定义为可测函数在某个函数空间的投影，均值则是可测函数对于概率测度的积分。值得注意的是，很多的现代观点，开始以泛函分析的思路看待概率论的 基础概念，随机变量构成了一个向量空间，而带符号概率测度则构成了它的对偶空间，其中一方施加于对方就形成均值。角度虽然不一样，不过这两种方式殊途同 归，形成的基础是等价的。

在现代概率论的基础 上，许多传统的分支得到了极大丰富，最有代表性的包括鞅论 (Martingale)——由研究赌博引发的理论，现在主要用于金融（这里可以看出赌博和金融的理论联系，:-P），布朗运动(Brownian Motion)——连续随机过程的基础，以及在此基础上建立的随机分析(Stochastic Calculus)，包括随机积分（对随机过程的路径进行积分，其中比较有代表性的叫伊藤积分(Ito Integral)），和随机微分方程。对于连续几何运用建立概率模型以及对分布的变换的研究离不开这些方面的知识。

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1 一群武校的学生要毕业了，老师谆告他们：“出去以后，千万不能和经济学家过招，因为他们都有一只看不见的手。”
　　
　　2 老师问：对人类毫无用处而人类又不能摆脱的是什么东西？学生：苍蝇。老师猛摇头。学生又答：蛔虫。老师又猛摇头。学生又答：经济学家。老师猛烈点头。
　 　
　　3 学生：既然市场是万能的，那么我们还要经济学家有什么用？老师：因为经济学家能给我们带来快乐，而这是市场做不到的。
　　
　 　4市场经济是如何消除排队购物现象的？就是抬高价格。
　　
　　5有人说克里斯托弗•哥伦布是第一个经济学家。他的发现美洲之 旅，启程的时候根本不知道目的地在哪儿；踏上美洲时，又不知道自 己到了何处。最重要的，所有这一切，都是拿政府资助干的。
　　
　　4有 两个非常聪明的经济学天才青年，他们经常为一些高深的经济学理论争辩不休。一天饭后去散步，为了某个数学模型的证明两位杰出青年又争了起来，正在难分高下 的时候，突然发现前面的草地上有一堆狗屎。甲就对乙说，如果你能把它吃下去，我愿意出五千万。五千万的诱惑可真不小，吃还是不吃呢？乙掏出纸笔，进行了精 确的数学计算，很快得出 了经济学上的最优解：吃！于是甲损失了五千万。　　
　　
　　两个人继续散步，突然又发现一堆狗屎，这时候乙 开始剧烈的反胃，而甲也有点心疼刚才花掉的五千万了。于是乙说，你把它吃下去，我也给你五千万。于是，甲毫不犹豫吃了下去！甲心满意足的收回了五千万。
　 　
　　可突然，天才们同时嚎啕大哭：闹了半天我们什么也没有得到，却白白的吃了两堆狗屎！他们怎么也想不通，只好去请他们的导师，一位著名的经 济学泰斗给出解释。
　　
　　听了两位高足的故事，没想到泰斗也嚎啕大哭起来。好容易等情绪稳定了一点，只见泰斗颤巍巍的举起一根手指 头，无比激动地说：“1个亿啊！1个亿啊！我亲爱的同学，我代表祖国和人民感谢你们，你们仅仅吃了两堆狗屎，就为国家的GDP贡献了1个亿的产值！“
　 　5完全竞争
　　　　
　　　　第一天，上帝创造了太阳，接着魔鬼创造了灼伤；第二天，上帝创造了性，随后魔鬼创造了婚姻；第三天，上帝 创造了一位经济学家，而魔鬼陷入了沉思。思前想后了好大一阵子，魔鬼也创造了一位经济学家。
　　　　
　　　　6文化差异
　　 　　
　　　　一个经济学新定理发表了并且引起了热烈的讨论。英国人：“你的这个定理能够经受得住事实的检验吗？”德国人：“你的这个定理与其他的 基本定理相冲突吗？”法国人：“你的这个定理能够翻译成法语吗？”日本人：“你的老师是著名教授吗？”
　　　　
　　　　　　7社会贡献
　　　　
　　　　甲：“经济学家干了什么？”已：“短期看他们干了很多，长期干他们什么也没干。”
　　　　
　　　　 8长短有度
　　　　
　　　　据说德布鲁曾经讲过，经济学论文应该象女人的裙子一样，短要短到另人感到刺激；长要长到让人感到里面有些实 质内容。
　　　　
　　　　9骄人的业绩
　　　　
　　　　经济学家预测出了过去5次衰退中的9次。
　　　　
　 　　　10以不变应万变
　　　　
　　　　一位经济学家回到他的母校，并对眼下的考试题目很感兴趣。于是他请曾经教过他的老师拿出考题。 使他大吃一惊的是，现在的考题与他十年前答的题一模一样。他问老师为什么会这样。老师回答说：“问题虽然没变，但答案变了。”
　　　　
　 　　　11除去统计数字水分的简便方法
　　　　
　　　　关于敌军伤亡人数，可用下列方法统计：我军的公报数除以二点五，加上敌军的公报 数乘以四后取一半。这样差不多接近实际数字。
　　　　
　　　　12计量经济学的四条黄金定律
　　　　
　　　　甲、大 胆地思考；乙、不受限制地创造；丙、出奇地幸运；丁、做不到的话，就下决心当一位经济理论家吧。
　　　　
　　　　13已被证实的两大 命题
　　　　
　　　　经济学家第一定律：对任何一位经济学家而言，一定存在着一位实力旗鼓相当的同时观点又针锋相对的经济学家。经济学 家第二定律：他们都是错的。
　　　　
　　　　14公私分明
　　　　
　　　　问：购买彩票与购买垃圾股的区别在哪里？ 答：在第一种情况下，你是在帮助社区游泳池融资。在第二种情况下，你是在帮助股票投机商的家庭游泳池融资。
　　　　
　　　　15难处理 的透明度
　　　　
　　　　经济统计数据就象比基尼，暴露出的那部分固然重要，但没暴露出的那部分才更是要命。
　　　　
　 　　　16弹无虚发
　　　　
　　　　问：你应该到哪里发表论文？答：如果你能理解并能证明，那么就寄给数学杂志；如果你能理解但无法证 明，那么就寄给物理学杂志；如果你不能理解但能证明，那么就寄给经济学杂志；如果你既不能理解也无法证明，那么就寄给心理学杂志；
　　　　
　 　　　17另一种“柠檬”商品
　　　　
　　　　精心设计的模型从根本上说，是经过审慎挑选的有关现实的一组谎言，或者说是经过审慎挑选 的有关现实的部分真理。更一般地讲，世界上存在着三种谎言：谎言，该死的谎言，统计数字。
　　　　
　　　　18总统的困惑
　 　　　
　　　　克林顿和叶利钦在首脑会谈的间歇闲聊。叶利钦对克林顿说：“你知道吗，我遇到了一个麻烦。我有一百个卫兵，但其中一个是叛徒而我却 无法确认是谁。”听罢克林顿说：“这算不了什么。令我苦恼的是我有一百个经济学家，而他们当中只有一人讲的是事实，可每一次都不是同一个人。”
　 　　　
　　　　19智慧的显现
　　　　
　　　　一位经济学家去华盛顿的自然历史博物馆参观。当站在恐龙化石面前时，他对身边的 游客说：“这只恐龙的岁数足足有20亿年令10个月。”游客惊讶且恭敬地问道：“您从哪里得到如此准确的信息？”经济学家不无自豪地回答说：“10个月前 我来此参观过。那时讲解员告诉我这只恐龙已经20亿岁了。”
　　　　
　　　　20政府的职能
　　　　
　　　　如果经 济在运转，那就征税；如果经济不断地在运转，那就监管；如果经济停止运转，那就补贴。
　　　　
　　　　21经济政策
　　　　
　 　　　这是政府的盾牌，用来招架由于总统或总理的低能而以攻为守的拳打脚踢。它是一个没心肝的怪物，各种骂名它都能够承受。
　　　　
　 　　　
　　22问：要多少個经济学家才能把一个坏灯泡换掉？
　　答： 八个。一个把灯泡裝上，其它的人负责保持的东西(条件)不变。
　 　问：要多少个芝加哥学派的经济学家才能把一个坏灯泡换掉？
　　答： 一个也不用。要是灯泡坏了，市场机制自然会把它更换。
　　问：要 多少个新古典学派的经济学家才能把一个坏灯泡换掉？
　　答： 那就要看当时的工资如何。
　　问：要多少个凱恩斯学派的经济学家才能把一 个坏灯泡换掉？
　　答： 愈多愈好。因为这样便可增加就业、刺激消費，令总需求曲线向左移。
　　问：上帝为何创造经济学家？
　 　答： 因为有经济学家的話，天气预报便显得准确得多了！
　　
　　23假如有一千名经济学家去处理换灯泡的问题，当中会有十个理论经济学 家，各人对换灯泡的方法有不同的主张。余下的九百九十个实证经济学家就努力地去检验那一个的理论正确，最后所有人还是在黑暗之中。
　　
　 　24唯有经济学这一门学科，会出现两位学者互唱反调，而他们却分享着同一个诺贝尔奖。（Myrdal 与 Hayek 就是其中一个例子）

　　25 Bentley 的经济学第二法则：「唯一比经济学家更危险的，是业余经济学家。」
　　Berta 的经济租值基本法则：「唯一比业余经济学家更危险的，是专业经济学家。」
　　
　　26 经济学家是经专业训练的专家，我們花钱请他們来我们的经济作出错误的估计。
　　计量经济学家也是经专业训练的专家，我们花钱请他们利用电脑来为我 们的经济作出错误的估计。
　　
　　27激励相容
　　据说有位智者讲过，党派分析家使用经济数据的方式和酒鬼使用路灯杆一样，他 们都不是为了说（照）明，而是为了寻求支持。

　　28诚实
　　甲：“听说经济学家总在说谎。你能否告诉我，如何判 定他在说谎？”
　　乙：“经济学家大都比较诚实，很少掩饰。你只要注意他的嘴就行了，嘴一动，他就在说谎。”

　　 29逮猫 　　
　　有人告诉一位数学家，一位理论经济学家和一位计量经济学家说， 旁边那间黑灯瞎火的密闭房间里有只黑猫，看他们谁能逮得到。其实， 房间里根本没有猫。 　　数学家先进去，拼命找那只并不存在的猫，结果发了疯，进了精 神病院； 　　理论经济学家进去折腾一番，没找到猫，却不气馁，出来后还得 意洋洋地说，他可以搞一个数学模型，精确地描述他在房间里的运动 轨迹； 　　计量经济学家蹑手蹑脚趟进黑房间，花了一个多钟头找寻那只并 不存在的猫。只听他在屋里大叫：“哎哟，脖子被猫挠了一下！”

　 　30语言大师
　　美国联邦储备委员会主席格林斯潘的名言：如果你觉得听懂了我说的话，那你一定是误解了我的意思。

　 　31肺腑之言
　　据说英国经济学家罗宾逊夫人讲过：“我学习经济学是为了不受经济学家们的骗。”

　　32绝对真 理
　　庆贺生日是一项有益身心健康的活动。统计数据表明，一个人一生中欢度的生日越多，他的寿命就越长。

　　33 简单规则
　　问：成为一个优秀经济学家的必备素质是什么？
　　答：牢牢地抓住显而易见的东西，并且有意识地对它们进行痛苦而深奥的阐述。

　　34理性的无知
　　世界上有两样东西你不了解其生产过程反而会感觉更好：香肠和经济计量数据。

　 　35实现自由贸易就象上天堂，每个人都想去，但都不想去得太早。

　　36　搞一钉点儿通货膨胀就象怀一钉点儿孕，很快就 会使肚皮胀起来，大 大超过一钉点的界限。 　

　　37　墨非定律：经济学家在其懂得最多最有共识的地方，对政策的影 响力最小；在其懂得最少炒得最凶的地方，对政策的影响力最大。 　

　　38　什么是经济学家？——知道１００作爱方法，却 从未与异性交往的人。

　　
　　39抄袭一个人的思想叫剽窃，抄袭很多人的思想叫……科研！
　　
　　41　病毒
　 　　　如果社会是电脑，经济学家就是病毒。可大致分类如下： 　　利益集团经济学家病毒：其作用是把硬盘分成许多小单位，每个单位 均无任何实际用途，却都声称自己是本机器上最重要的部件。 　　计量经济学家病毒：染上此病毒后，６０％的机器将在１４％的时间 里丢失３８％（正负３个百分点）的数据。 　　政治思想库经济学家病毒：占用内存但不干活，只有到下次选举才能 清除。 　　政府经济学家病毒：你的系统无法工作，但所有诊断程序都报告说一 切正常。 　　社会主义经济学家病毒：造成当机，毁掉硬盘，并坚决否认此事发生 过。 　　主流经济学家病毒：声称受到电脑上其他文件威胁，并以“自卫”为 借口删除他们。 　　中央银行经济学家病毒：确保它自己大于其他所有文件。 　　跨国公司经济学家病毒：删除所有货币文件，微笑着发出经济即将变 好的信息。 　　供给学派经济学家病毒：让你的电脑沉睡４年，醒过来却发现债务增 加了三千个亿。 　　环境经济学家病毒：阻止你删除任何文件。

　　42　葬礼捐款 　　一位芝加哥学派经济学家死于贫困。为办葬礼，有人发起当地期 货商募捐。一位商界大老，接到捐款一元的通知，大奇。 　　“就一块钱？” 他说，“ 一块钱就可安葬一个经济学家？这是 １００块，拿去葬他１００个！”

　　43　正确但无用 　　一群经济学家攀登阿尔卑斯山。出发几个小时后，他们彻底迷路 了。其中一位很是认真地研究地图。正着看，反着看，侧着看，倒过 来看。又是打量周围地形，又是用罗盘定位，还眯着眼睛目测太阳高 度。 　　最后，他终于说话了：“诸位，看见那座大山没有？” 　　“看见了。”众人满怀希望的回答。 　　“根据地图，我们正站在那座山顶上！”

　　45人力资本理论 　　定理：科学家和工程师应当比商人挣钱少。 　　下面是一个严格的数学证明。 　　命题１：知识（ｋｎｏｗｌｅｇｅ）就是力量（ｐｏｗｅｒ）。 　　命题２：时间（ｔｉｍｅ）就是金钱（ｍｏｎｅｙ）。 　　我们从中学物理中知道： 　　ｗｏｒｋ 　　————　 ＝ ｐｏｗｅｒ 　　ｔｉｍｅ 　　因为：ｋｎｏｗｌｅｇｅ＝ｐｏｗｅｒ，ｔｉｍｅ＝ｍｏｎｅｙ， 上式变成： 　　ｗｏｒｋ 　　————— ＝ ｋｎｏｗｌｅｇｅ 　　ｍｏｎｅｙ 从中解出ｍｏｎｅｙ，我们得到： 　　　　　　　　　　　　ｗｏｒｋ 　　ｍｏｎｅｙ　＝　———————— 　　　　　　　　　　ｋｎｏｗｌｅｇｅ 　　可见，金钱（ｍｏｎｅｙ）与知识（ｋｎｏｗｌｅｇｅ）成反比。 作同样的功（ｗｏｒｋ），知识越少，金钱越多；当知识趋于０时， 金钱趋于无穷大。证毕。

　　
　　47有人在乡间路上遇牧者赶羊，对牧羊人说：“我和你打赌，如果我猜中羊群的数目，得一羊，如猜 错，你得一百元。”牧者欣然同意。路人说出一个数目，973只，牧者大为惊奇，因为确是羊群的数目。于是，路人取得他应得的“奖品”，拜别牧者，扬长而 去。
　　　　走不了两步，牧者赶上来，说“让我有个扯平的机会———我们再赌一场吧？”路人马上同意，问牧者要猜什么？牧者说猜路人的身份，路 人无异议。牧者一猜中的：“你是在官方智囊机构工作的经济学家！”路人吓得面无人色，牧人怎会知道他的职业？“这还不简单，”牧者揭开谜团，“因为你抱走 的是牧羊狗而不是绵羊！”

　　48　爱因斯坦碰到三个朋友，他问A：“你的智商多高？”A答道：“201。”爱因斯坦颇为 吃惊，道：“201，我将不愁寂寞，因为你有资格和我谈论相对论。”又问B：“你的智商又有多少？”B道：“150。”爱因斯坦说：“那还不错，我们可煮 咖啡论天下事。”最后问C：“你又如何？” C答道：“75！”爱因斯坦想了一会说：“请问阁下对明年度财政赤字有何看法？”

　 　49物以稀为贵。游客在食人族聚居的岛上旅行。路过一个人脑专卖店，见其橱窗有如下的价目表——
　　艺术家脑每磅9元；哲学家脑每磅12元；科 学家脑每磅15元；经济学家脑每磅219元。
　　游客因此得出经济学家的脑袋最受食家欢迎的结论，因为根据简单的供求律，市场需要殷切价格才会上 涨。
　　询之店东，哪知答案完全相反：“经济学家大多无脑，不知要多少个经济学家才有一磅脑，物以稀为贵，经济学家脑的价格因而较高！”

　　50甲乙两人乘气球升空遨游，因为风势很大，气球飘得很远，他们不知身在何方。
　　他们把气球下降至离地约20米，然后大声 问一路过路人：“请问我们在什么地方？”路人回答：“你们在气球里。”甲对乙说，此公肯定是经济学家，因为他的答案正确但一点用处都没有。路人听到甲的 话，大声叫道：“那么阁下必是商人！”
　　甲乙齐声说：“你说的没错，但你怎么知道？”路人说：“你们处于最有利的位置却不断抱怨！”

　　51一名经济学家到乡间度假，住在一家小客栈，他和客栈主人的女儿有染。
　　一年后，他旧地重游，见他的女友抱一刚出世不久 的婴儿，她说这是他们一夜风流的结晶。
　　经济学家说：“你为什么不一早通知我，我们可奉子成婚啊！”婴儿的母亲回答：“我们家里开会研究之后， 决定有一个私生子胜于有一个经济学家的儿子

　　52经济学家的办法
　　一个物理学家、一个化学家和一个经济学家漂 流到孤岛上，十分饥饿。这时海面上漂來一个罐头。物理学家说：“我们可以用岩石对罐头施以动量，使其表层疲劳而断裂。”化学家说：“我们可以生火，然后把 罐头加热，使它膨胀以至破裂。”经济学家则说：“假设我们有一个开罐头的起子……。”
　　
　　53经济学家到明天才会知道为什么昨天预言 的事情在今天沒有发生。
　　
　　54经济学家保罗•克鲁格曼的职业生涯存在一个规律：当他集中注意力于学术研究几年后，就会厌倦并想要服 务于政界；而当他从事政策制定一段时间以后，又会开始重新渴望做真正的研究。
　　
　　55杜鲁门总统曾经恨恨地说： “我希望找到一个只有一只手的经济学家！”

　　56经济学家就是这样一种人,他并不知道他所谈论的,但是,他让你觉得这是 你的错误.
　　
　　57工程师、化学家和经济学家结伴旅行。有一晚，他们投宿一家小客栈。但是，客栈只剩下一间双人房，因此有一人必须睡 在柴房。
　　
　　工程师自告奋勇去睡柴房。但是不久他又回来了，说柴房里有一只牛，而他是印度人，宗教不允许他在圣牛之旁睡觉。
　 　
　　于是，化学家说我去睡柴房。但是不久他也回来了，说柴房里有一头猪，而他是犹太人，不能睡在那样肮脏的动物旁边。
　　
　　 最后，只好经济学家去睡柴房。
　　
　　过了一会，有砰砰的敲门巨响。工程师和化学家开门一看，门口站着一头牛和一头猪。
　　
　 　58 问：数学和经济学的分别是什么？
　　
　　答：数学难以理解；经济学则莫名其妙。
　　
　　59 莫斯科红场举行阅兵仪式。
　　
　　在坦克、火箭各种武器和兵种列队经过主席台之后，是一队着黑衣的文职人员。
　　
　　赫 鲁晓夫问：“他们是谁？”
　　
　　克格勃头子答：“他们是经济学家，如果需要，我可派遣他们去美国，保证他们会把美国经济搞成一团糟。”
　 　
　　60经济学家是解释预测为什么失灵的专家。　
　　　
　　
　　62 排中律
　　
　　三个计量经济学 家外出打猎，遇上一只大鹿。第一位扣动扳机，但未击中，左偏了一米。第二位计量经济学家随后射击，也未打中，右偏了一米。第三位先生没有开枪，但是却胜利 地欢呼道：“我们确定了它的位置，我们能逮住它了。”
　　
　　63两个经济学家的遭遇
　　
　　一个经济学家在沙漠里旅 行，遇到一个因缺水而濒死的年轻人。经济学家带有足够的水，这时恰好可以和青年做一个交易。但是水应该卖个什么价钱呢？显然此时一瓶水对于年轻人的效用是 极大的--几乎等于他的生命，因此年轻人应该为一瓶水付个好价钱。这样，经济学家就提出一瓶水的价格是一百万美元。然而，青年没那么多钱，他身上只有 100元。是否接受100元一瓶水的价格呢？经济学家不愿吃亏，他很聪明地想到另一个办法：他要青年和他签一份劳动合同，规定青年做他的佣人30年，报酬 是只管吃住。青年没有别的选择，只好签了协议。从此以后，经济学家就带着青年四处讲学，青年人在做佣人工作的同时也学到了一些所谓的经济学。过了快三十 年，有一天，当两人走在一处人际罕至的森林里时，经济学家不小心掉进一个深洞里，摔断了腿。他要仆人救他上去。这时，仆人也就是原来的青年也得到了交易的 机会。他应该为救人的服务定什么价钱呢？他为自己出价一百万美元。经济学家毫不迟疑地接受了这个价格，并且心里暗想：这个傻瓜，经济学还是没有学透，他即 使要价二百万美元我也会接受的，这次我赚了。
　　
　　一个经济学家（和前面的经济学家不同，此人认为价格应由成本决定）在沙漠里旅行同样 地遇到一个因缺水而濒死的年轻人。经济学家带有足够的水，就卖给年轻人一瓶。考虑到将水带到沙漠里的费用，经济学家就提出一瓶水的价格是一美元。青年得救 了，他没有别的事情可做，就希望给经济学家做佣人。经过商量，他们签了一份劳动合同，规定青年做他的佣人30年，报酬是一百万美元。从此以后，经济学家就 带着青年四处讲学，青年人在做佣人工作的同时也学到了另一些所谓的经济学。过了快三十年，有一天，当两人走在一处人际罕至的森林里时，经济学家不小心掉进 一个深洞里，摔断了腿。他要仆人救他上去。这时，仆人为他救人的服务要价一美元。经济学家也得救了。
　　比较以上两个例子，从最后结果看，两个经 济学家都付出了一百万美元，但得到的却不相同。两个青年都得到了一百万美元，但付出的却不相同，因此效率有所不同。第一个例子中的年轻人虽然最后得到一百 万美元，但在那样的劳动合同下，很难想象他会情愿地做佣人，肯定工作效率不高。而经济学家当然知道他不心甘情愿，因此也要多花时间和精力做监督工作。而第 一个例子中的经济学家自认为在两次交易中都得到好处，但最后他付出的与后一例子中的经济学家一样多，得到的反而不如后一例子中的经济学家多。这种情况是怎 么发生的？

　　64理发师与经济学家
　　一天，一位理发师给一位教堂的牧师理发，理完后当牧师要给理发师付费时， 理发师拒绝了，他说：“您为上帝工作，我怎能收您钱呢？”第二天，理发师门口多了12部圣经。
　　一位警察找这位理发师理发，理发师再次拒绝收 费，他说：“您保护大众，我怎能收您费呢？”第二天，理发师门口多了12个甜圈圈。
　　
　　一位经济学家来找这位理发师理发，理发师又一 次拒绝收费，他说：“您为大家的福利而工作，我怎能收您钱呢？”第二天理发师门口有12位经济学家等着他理发。　　
　
　　
　　 69什么是经济增长？
　　 1980年R•里根与吉米•卡特竞选美国总统，争夺十分激烈，特别是经济问题是双方关注的重点。R•里根与吉米•卡特在电话辩论时说：“如果你的邻居失业 了，说明美国经济在衰退，如果你的亲人失业了，说明经济在萧条，如果卡特失业了，说明美国经济要增长。”
　　
　　70经济学家的结论
　 　英国首相邱吉尔说：“两个经济学家讨论一个问题，通常得出两种结论；如果其中一人为著名经济学家，结论必有三个以上。”
　　
　　71经 济学家为何不满意？
　　当一切顺利运作时，经济学家仍不会满意，因为他们要知道这种运作是否符合经济学原理。
　　
　  73经济学家的建议
　　一名经济学家到海边休假，发现一家渔民在用原始的方法捕鱼，过着日出而作、日落而息的原始生活，于是经济学家建议说：你应 去银行贷款，增加设备，扩大经营规模。渔民问：然后呢？经济学家说，扩大规模后，再进行资本积累，发展远洋捕捞，然后成立一家国际大企业。渔民问，再怎么 办？经济学家说，企业扩大后，你可以到大学去学经济管理专业，让人替你管理公司，你就可以到海边去休假享受了。渔民回答说：“我现在不正是这样吗？！”
　 　
　　74我是哈佛经济学博士毕业生
　　几名美国哈佛大学经济学研究生刚获得硕士学位，准备到校外喝酒庆祝一番，于是“打的”前往，在车 上几名经济学新人谈得甚欢，大谈其宏伟前程，并询问的士司机选择何种职业为好？出租车司机回答说，“小弟，我是哈佛经济学博士毕业的，干这一差事已经五年 了”。
　　
　　　
　　76成为经济学家的诀窍
　　你只要教会鹦鹉说“供给”与“需求”，那么这个世界就会多一位经济学 家。
　　
　　77经济学家的“比较优势”
　　一名经济学家与一名数学家在森林中散步，走着走着，突然碰到一头大黑熊，经济学家见 状，吓得面无人色，扭头就跑，数学家说：“你别跑了，我们跑不过黑熊的！”而经济学家则说：“我虽然跑不过黑熊，但我跑得过你！”
　　
　 　　　
　　79不自私的经济学家
　　经济学的基本假设是人人具有“利己心”，即人们凡事都会从自身利益出发来采取相应的对策。而一位经济 学家对此提出异议，他认为，并不是每一个人都是如此，例如他就是不自私的人。
　　一次这位经济学家乘巴士（bus）上街购物，他刚一上车，就见一 漂亮女士起身，于是该经济学家连忙讲：“您坐下好了”。到了下一站，该小姐欲站起来，经济学家连忙说：“您不必起来”。又到了一站，这位小姐又想站起来， 这位经济学家说：“您坐下好了，不必为我让座”，而该小姐却说：“先生，我已错过三站了”。
　　
　　　
　　81经济学家的思维
　 　两名经济学家在学校道路上相遇。
　　甲问：“你夫人现在好吗？”
　　乙反问：“那要看比较什么而言？”
　　
　　　　
　 　83用经济学家替代老鼠做实验较好
　　美国国家健康研究所（NIH）宣布今后将以经济学家代替白老鼠作试验，举国哗然，认为对经济学家太不公平 了。
　　但NIH罗列了四项理由，反对之声快速寝息。
　　1．研究人员喜欢白老鼠，不忍看见他们成为无辜的试验品。
　　2．经济 学家繁殖速度较快。
　　3．各地反对虐待动物协会并不反对这么做。
　　4．经济学家愿做那些白老鼠不愿做的实验。
　　
　 　84经济学家的咨询费
　　有一位知名经济学家开了一家咨询事务所，于是有人慕名前往咨询其收费情况。
　　顾客问：“请问贵经济学家的咨 询收费价格如何？”
　　经济学家回答说：“每个问题1000美元”，现在您可以问第二个问题了。
　　
　　85美国加州巴克莱大学 一位经济学教授病故，升天，排在长龙末端，等候通过南天门进入天堂。
　　圣彼德在办公室外观望，见经济学家排在队伍的末尾，于是跑出来请他进办公 室休息。
　　经济学家受宠若惊，忙问其故。
　　圣彼德解释道：“我不过聊表敬老之心而已，从您开给客户的咨询时间表来看，阁下起码已达 193岁。”
　　
　　86数学与经济学的差别
　　数学和经济学的分别在哪里？
　　数学难以理解；经济学则莫明其妙。
　 　
　　87什么是经济学家？
　　缺乏个性做不了会计师的人能成为经济学家。
　　经济学家是知道何以昨天的预测今天并不兑现的专 家。
　　经济学家往往理论多多而实践空乏，他们知道最少100种做爱方式，但没有一个女性朋友。
　　
　　88僵化的经济学家
　 　刚踏出校门的经济学专业毕业生上班后最常提出的问题是：“先生，你的牛排要几成熟？”
　　
　　89上帝的专业
　　经济学家、哲 学家、生物学家和建筑师讨论什么是上帝的专业。
　　哲学家说上帝是哲学家，因为他为世人定下了做人的标准；但生物学家反对，他指出上帝创造万物， 因此是生物学家。
　　建筑师不同意，他说，“创世记”上说“上帝创造天地”，因此它是建筑师。
　　经济学家推翻了所有上述的说法，他说， 在有天地之前，一切是混沌混乱的，若上帝不是经济学家，厥克臻此（为什么会如此）？！
　　
　　90两类预测者
　　经济学家常作两 类预测。
　　其一是不知所谓。
　　其二是不知“不知所谓”。
　　
　　91要看情况而定
　　经济学家的儿子和数学 家的儿子是同班同学。一天，教师提出这样的问题：“如果一个人一只铲，在10天内掘一水渠，请问10个人持一只铲，需要多少天才能掘好同样的水渠？”
　 　教师问数学家的儿子，答案是十天。
　　教师问经济学家的儿子，答案是“要看情况而定”（It all depends）。
　　
　 　92经济学家的语言
　　加拿大有一小撮人，要求独立，不说英语，而说一种根本无人了解的语言；在美国亦有这类人，他们便是经济学家。
　 　
　　93盲人世界，节约能源
　　神父、心理学家和经济学家三人结伴打高尔夫。
　　比他们先进场的一对球手，打球进度缓慢。
　 　到了第八洞的时候，三人组已很不耐烦，故意大声“投诉”，希望那组打得慢条斯理的，闻弦歌知雅意，加快打球速度。
　　神父说：“圣母玛利亚，我 祈求他们多学一些基本功夫才进场 。”
　　心理学家说：“我深信有的人喜欢慢打。”
　　经济学家说：“我真没想到要花这么长时间才打完一 个洞。”
　　到了第九洞时，三人组已忍无可忍。
　　心理学家走上前，要求二人组的球僮，请他们让路，因为他们：“阻碍我们的进度”。
　 　球僮说没问题。跟着解释他们何以打得很慢的原因，原来他们是前消防员，在一次救火行动中被灼伤成为盲人！神父和心理学家都有悔意，各自说了一番适合其身 分的抱歉话。
　　经济学家想了一会儿，对球僮说：“这个问题不难解决，请他们今后在晚间来打球就行，因为盲人世界，可以节约能源。”
　　
　 　94无用的答案
　　学生问：选读经济学和财务学有何分别？
　　经济学家答：机会成本不同。
　　
　　95毕业证的作用
　 　问：为什么经济学家常把毕业证书贴在汽车挡风玻璃的后面？
　　答：如此这般，他们便可把汽车停泊在“弱智人士”的专用停车位上。
　　
　 　96无关紧要，但争论不休
　　法官要开庭审一宗醉酒驾车案，需要一个陪审团，但时间不凑巧，没有合格人士在场，最后只好请数位刚好来法院作“专 家证人”的经济学家当陪审员。
　　审讯过程大约十分钟，事实非常明显，被告醉酒驾车，犯了罪。
　　但陪审员商讨了三个小时，仍未达致共 识；法官等得不耐烦，派执达吏去催促。
　　一会儿，执达吏回报大老爷：“陪审员各抒已见，仍在辩论谁应作为陪审团主席！”
　　
　 　97经济学家的声誉
　　（1）一位著名评论家说：“瑞典皇家学院应当不再颁赠诺贝尔经济学奖。”
　　（2）一位从政者私下说：“我一生 中最快乐的时光，就是在没有认识经济学家之前。”
　　（3）罗伯特•索罗（MIT教授，《世纪之争》作者）认为：“公众对美国经济学家的尊敬，已 经到了战后的最低点。”
　　（4）美国总统R•里根怒责他的经济顾问：“专门讲反面话的人。”
　　（5）一位大企业家公开批评：“常常错 误的经济预测比没有预测更害人！”

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