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小小煽情，起源于最近很热的一首小诗，原作者有争议，我在这里只贴原文了。
见或不见
你见，或者不见我 / 我就在那里 / 不悲不喜
你念，或者不念我 / 情就在那里 / 不来不去
你爱，或者不爱我 / 爱就在那里 / 不增不减
你跟，或者不跟我 / 我的手就在你手里 / 不舍不弃
来我的怀里 / 或者 / 让我住进你的心里
默然 相爱 /寂静 欢喜
多么希望，一觉醒来，所有的烟云，都已然化为灰烬。见或不见，就在那里。
最近总是睡不安稳，很多梦，很多梦，经常的在梦中，纠结着就惊醒。梦中，英文、西班牙文、中文交错，然后才意识到自己心中已然有了这么多怀念。突然发现在每个经过的城市，多多少少都有一个当伤心的时候喜欢流连的地方。怀念那涓涓泉水、点点星光，还有那风移影动、珊珊可爱。
喜欢那种“过客”的感觉，知道自己不用为之负担什么；却又尝尽作为过客的种种无可奈何，瑞雪兆丰年，只是丰年是别人的欢喜，与己无关。
想长长的醉一场，然后醒来发现一切未曾改变；想短短的梦一场，然后醒来发现一切未曾发生。事实总是残酷的。
泪， 越来越不争气，好像水一般便宜。不知道为什么，越来越脆弱，会脆弱的不争气的哗啦哗啦哭一场，然后问自己为什么要一个人出来面对这么多孤单。不愿承认，但 始终在过去的二十一年中始终还是被保护的太好了，总有一个温暖的家可以当作避风港，然后肆意的哭泣、哭泣。醒来之后发现太阳还是那般明亮、云彩还是那般洁 白、地球还是在不停的转着。然后渐渐的，渐渐的，就忘记了哭泣的原因，也便不再哭泣。
人生纵有缕不完的孤单。总在抱怨自己的不争气，至少现 在有互联网说打个电话也就一个电话打回家了，也不用对钱的问题太过担忧。想想几十年前，那些费尽艰辛辗转留学的人，受尽苦的苦，岂不是我现在所承受的千万 倍。但是始终，我还是在不争气的抱怨为什么自己不好好的呆着，要跑出来在一个没有人认识我的地方，孤单的开始全新的生活。学会自己照顾自己，学会在悲伤的 时候用微笑掩饰，学会的太多太多人生中的虚伪。然后现实残酷的告诉我，我永远达不到我想要做到的自己。不够聪明、不够坚强、不够坚定。春天到来了，花却不 会盛开，未来不见得明朗。
原来人长大了，心中的懦弱也会随着一起增长。恨自己不够坚强，总给自己的懦弱寻找理由。“人生的模式，归根到底，还是自己选择的”。如何才能做到，不悲不喜，不舍不弃。
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总觉得自已已经过了那个被一首情歌可以感动的稀里哗啦的年纪。越来越少听歌了，也越来越少体验那种莫名其妙就感动的一塌糊涂的感觉。
这两天不知道为什么，想起一段熟悉的旋律，然后还有一句歌词。“春夏秋冬，有多少人会走；春夏秋冬，有多少人会留”。不知当年谁把这首歌定位于“小醋意的小情歌”。很淡，很淡，旋律很淡，歌词也很淡，心情也很淡。不错，正是张敬轩的《过云雨》。
记 不得第一次听这首歌是什么时候了，只知道它乖乖的躺在我的移动硬盘里已经很久了。很久没有听过了，只是那日从海边穿过荫荫的公园回到住处的时候，忍不住就 哼了起来。想不出什么特殊的原因，或许只是当时感觉春夏秋冬交替的太快了吧。转眼春天已经降临，也有更多的闲情与更多的同学闲扯。突然间觉得自己好像对文 字不再那么敏锐，或许是因为说英语的时候更力求言简意赅，先表达出自已的意思再说，没有什么“推敲”之类的。不过那种演讲的时候想讲个笑话调动一下大家情 绪的能力的丧失，确实有点难受。毕竟英语不是第一语言啊，总要在脑子里留出一部分空间在考虑语法单词之类的，没法自由的享受……
记得生物中 有个“-3/2自疏法则”，不知道在人与人的交往中是不是也有类似的规律——社会网络理论中也有个很著名的“150法则”，说的大概就是人们只能最多与 150个人保持紧密联系，这大概是人际交往的一种自然的上限吧。周围的人总是去去留留，来日方长，谁也不知道会与谁在哪年哪月哪地重逢。“春夏秋冬，有多 人会走”。走了的，是应该怀念，还是忘却；留下的，是不是要开始珍惜？有一点点小小的讨厌一种“几个月之后注定别离”的感觉，一旦确定了，就没有惊喜了。 有点像Ramsay model里面，有限时间和无限时间的区别：当时间有限的时候，联想到transversality condition，总会恰到好处的规划怎么用尽所有的资源、努力、浪漫；当时间无限的时候，反而可以从全局的高度舒舒服服的躺在稳定臂上滑滑梯……不知 真到了离别的那一刻，是应该开怀的哭，还是应该努力的笑？
十个月，太短。爱不够爱，恨也不够恨。还没来得及爱上巴塞罗那这座城市，就要麻木 的离别；时间不足够去厌倦这座城市，也就谈不上恨。无爱无恨，反倒有点手足无措。突然不知道泪腺是进化了还是退化了，会有越来越多的时候想用泪水来抚慰疼 痛的心，却在泪水盈眶的那一刻，嘲讽自己说不过是过客，没有人会在乎你。然后瞬间，连哭都似乎显得多余。不知道是应该学会伪装，还是应该乖乖的收敛心情， 继续用麻木的微笑掩饰荡漾的圈圈涟漪。
也许，不过是灿烂阳光下的丝丝幻想罢了。是不是应该感谢，还有这种幻想的闲逸心情？
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人家说“开始喜欢回忆了，说明人老了”。于是乎，为了证明自己年轻的存在，就不回忆了。
今天下了课，很开心的跑到海边，吹海风。越来 越惊叹于巴塞罗那充足而灿烂的阳光，简直就是天天艳阳啊，还不潮不干……这天气，真的是完美的无可挑剔了。周围的一片欧洲同学都在感慨巴塞的天气怎么能够 这么好呢？好的奢侈啊！现在才刚开春啊，巴塞就已经春风拂面游人醉了。怪不得说一入春从欧洲各种苦寒之地飞往巴塞罗那的航班都是满满当当的，有道理啊～
这么好的天气，沙滩上懒懒散散的停留着一簇簇悠闲的人。嗯，真美好，每次去沙滩都感慨生活居然可以如斯美妙～想想每日的忙碌，也就淡然和浮云了。
嗯， 下周有期中考，但是在这么一个美丽的城市考试，谁还会抱怨什么呢？人们总说西班牙人很懒，但是真的，换谁到了这里都不会想勤快起来吧？这么美好的生活，若 是无视之，岂不是太过分了？也难怪这座城市可以拥有高迪这种天才设计师，和圣家堂这种匪夷所思的教堂……嗯，人的想象就是在慵懒中成长泛滥的，哈哈。
重拾一份生活的优雅，不再急促、不再彷徨。嗯～
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过一会，就要踏上开往巴黎的火车了。Paris，这个传说中无比美丽的城市，应该不会只存在于想象中了，很快就变得触手可及。
经历了一场地狱般的考验，终于知道在国内学的那些东西基本都是废品，出来遛了一下才知道经济学的考试可以多么的变态。在连续考完三科、一科比一科糟糕之后，我已经万念俱灰了。所以，不是我不珍惜巴塞罗那的美丽，而是实在是想离开这里，短暂的离开一会。
昨 天，考完试之后和一位从威尔士远道而来的意外访客在巴塞罗那溜达了一下午外加一晚上。很可爱的小姑娘，居然是从twitter辗转找到我的——可是，我真 的已经很久没用过twitter了啊。可见世界多么小，多么神奇。带她去了附近一个颇受欢迎的Local place，没有座位、所有人都需要站着吃，店员也是爱答不理的，但是东西真的是很好吃很好吃，还很实惠。我们俩作为俩不会西班牙语的黑头发出没在那里， 不吸引眼球就怪了。然后有一个自称舞蹈教师的中年男子用极不纯熟的英语来搭讪，可怜我一个词儿一个词儿往外蹦似的断断续续的用西班牙语混杂英语回答他…… 不过蛮有意思的，哈哈，练习西语的好机会。
今天，简单的做了一天临行前的准备，lunch吃得很好，tapas，嗯……我又很无知的点了海鲜饭，哈哈。喜欢这个味道～
嗯， 昨天晚上还跑到图书馆去了，偌大的图书馆空荡荡的，果然一副考完试的景象。很庆幸终于在Xmas Eve之前完成了一份筹划已久的gift...一年一度，一年一度，每天圣诞节都是这东西，我真的是没啥创意。不过每年都有值得我这么费心费时费力做的 人，可见我的人生或许并不太糟糕。
怀念一场相逢，怀念每个瞬间。当阳光懒懒的洒在窗前，那反射出来的点点星光，是留给我的，最美的瞬间。
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我原来一直觉得自己的思维还是蛮开放的，很多东西都能容纳。现在才发现原来根本不是这么回事儿。
今儿跟一同学聊天，不知怎么的就说到化学了。化学某种程度上对我来说是一种痛，得不到的东西总是让人有所回忆。其实很想学化学的，但是不可能去学……所以渐渐的也就淡然了，然后就开始学会学什么爱什么，至少这样不会让自己觉得痛苦了。
今 天说到化学，他就一个劲儿的在鼓励我重新回到学校去读一个化学的bachelor。呃，这可能么？我放弃现在在econ的master然后回去读一个 bachelor，真是不现实。但是他就有十几种例子在那里，一个劲儿的说“Do you want it?" 我只能说，"I cannot do it."。然后就给我灌输这个“不能做”和“不想做”之间的区别。唉，要知道，对于我来说，想做而不能做的事儿实在是太多了，从小到大都是被压迫着选择 的，放弃了一个又一个美丽而不切实际的梦想。
真是不知道这群人的生活怎么可以这么惬意，至少他们认为他们是在做自己想做的事情。这也无怪乎他们做事情某种程度上总是缺乏效率的，毕竟缺少一个持久的目标——大概对他们来说不存在“破釜沉舟”这种词儿吧。
我 能说什么呢？我一直觉得某种程度上我是比较理想化的，喜欢梦想一些事情。但是现在看来，我这点所谓的“理想化”真的是太现实了，毕竟我总是习惯于在现实面 前放弃一些什么，不去为难自己。人生毕竟没有那么多机会可以用来选择，这些习惯于做自己的选择的人到底是幸福，还是悲哀呢？
至少我觉得，一 路走到现在，我不曾后悔。虽然有过悲伤，有过痛不欲生，但是最终也好好的走下来了。在这个过程中，可能更多的是一种无奈的坚持，但毕竟结果还不坏。至少我 认为，ECON之于我，是一个恰到好处的恋人吧。不是美的不切实际高不可攀的理想情人数学，也不是放荡不羁捉摸不定的文学。ECON或许不是世界上最好 的，但是可能更适合我吧。
至少，庆幸我还能和自己喜欢的东西天天为伴。
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25 Bentley 的经济学第二法则：「唯一比经济学家更危险的，是业余经济学家。」
Berta
的经济租值基本法则：「唯一比业余经济学家更危险的，是专业经济学家。」
26
经济学家是经专业训练的专家，我們花钱请他們来我们的经济作出错误的估计。
计量经济学家也是经专业训练的专家，我们花钱请他们利用电脑来为我
们的经济作出错误的估计。
27激励相容
据说有位智者讲过，党派分析家使用经济数据的方式和酒鬼使用路灯杆一样，他
们都不是为了说（照）明，而是为了寻求支持。
28诚实
甲：“听说经济学家总在说谎。你能否告诉我，如何判
定他在说谎？”
乙：“经济学家大都比较诚实，很少掩饰。你只要注意他的嘴就行了，嘴一动，他就在说谎。”
29逮猫
有人告诉一位数学家，一位理论经济学家和一位计量经济学家说，
旁边那间黑灯瞎火的密闭房间里有只黑猫，看他们谁能逮得到。其实， 房间里根本没有猫。 数学家先进去，拼命找那只并不存在的猫，结果发了疯，进了精
神病院； 理论经济学家进去折腾一番，没找到猫，却不气馁，出来后还得 意洋洋地说，他可以搞一个数学模型，精确地描述他在房间里的运动 轨迹；
计量经济学家蹑手蹑脚趟进黑房间，花了一个多钟头找寻那只并 不存在的猫。只听他在屋里大叫：“哎哟，脖子被猫挠了一下！”
30语言大师
美国联邦储备委员会主席格林斯潘的名言：如果你觉得听懂了我说的话，那你一定是误解了我的意思。
31肺腑之言
据说英国经济学家罗宾逊夫人讲过：“我学习经济学是为了不受经济学家们的骗。”
32绝对真
理
庆贺生日是一项有益身心健康的活动。统计数据表明，一个人一生中欢度的生日越多，他的寿命就越长。
33
简单规则
问：成为一个优秀经济学家的必备素质是什么？
答：牢牢地抓住显而易见的东西，并且有意识地对它们进行痛苦而深奥的阐述。
34理性的无知
世界上有两样东西你不了解其生产过程反而会感觉更好：香肠和经济计量数据。
35实现自由贸易就象上天堂，每个人都想去，但都不想去得太早。
36 搞一钉点儿通货膨胀就象怀一钉点儿孕，很快就
会使肚皮胀起来，大 大超过一钉点的界限。
37 墨非定律：经济学家在其懂得最多最有共识的地方，对政策的影
响力最小；在其懂得最少炒得最凶的地方，对政策的影响力最大。
38 什么是经济学家？——知道１００作爱方法，却
从未与异性交往的人。
39抄袭一个人的思想叫剽窃，抄袭很多人的思想叫……科研！
41 病毒
如果社会是电脑，经济学家就是病毒。可大致分类如下： 利益集团经济学家病毒：其作用是把硬盘分成许多小单位，每个单位
均无任何实际用途，却都声称自己是本机器上最重要的部件。 计量经济学家病毒：染上此病毒后，６０％的机器将在１４％的时间
里丢失３８％（正负３个百分点）的数据。 政治思想库经济学家病毒：占用内存但不干活，只有到下次选举才能 清除。
政府经济学家病毒：你的系统无法工作，但所有诊断程序都报告说一 切正常。 社会主义经济学家病毒：造成当机，毁掉硬盘，并坚决否认此事发生
过。 主流经济学家病毒：声称受到电脑上其他文件威胁，并以“自卫”为 借口删除他们。 中央银行经济学家病毒：确保它自己大于其他所有文件。
跨国公司经济学家病毒：删除所有货币文件，微笑着发出经济即将变 好的信息。 供给学派经济学家病毒：让你的电脑沉睡４年，醒过来却发现债务增
加了三千个亿。 环境经济学家病毒：阻止你删除任何文件。
42 葬礼捐款
一位芝加哥学派经济学家死于贫困。为办葬礼，有人发起当地期 货商募捐。一位商界大老，接到捐款一元的通知，大奇。 “就一块钱？” 他说，“
一块钱就可安葬一个经济学家？这是 １００块，拿去葬他１００个！”
43 正确但无用
一群经济学家攀登阿尔卑斯山。出发几个小时后，他们彻底迷路 了。其中一位很是认真地研究地图。正着看，反着看，侧着看，倒过
来看。又是打量周围地形，又是用罗盘定位，还眯着眼睛目测太阳高 度。 最后，他终于说话了：“诸位，看见那座大山没有？”
“看见了。”众人满怀希望的回答。 “根据地图，我们正站在那座山顶上！”
45人力资本理论
定理：科学家和工程师应当比商人挣钱少。 下面是一个严格的数学证明。 命题１：知识（ｋｎｏｗｌｅｇｅ）就是力量（ｐｏｗｅｒ）。
命题２：时间（ｔｉｍｅ）就是金钱（ｍｏｎｅｙ）。 我们从中学物理中知道： ｗｏｒｋ ———— ＝ ｐｏｗｅｒ ｔｉｍｅ
因为：ｋｎｏｗｌｅｇｅ＝ｐｏｗｅｒ，ｔｉｍｅ＝ｍｏｎｅｙ， 上式变成： ｗｏｒｋ ————— ＝ ｋｎｏｗｌｅｇｅ ｍｏｎｅｙ
从中解出ｍｏｎｅｙ，我们得到： ｗｏｒｋ ｍｏｎｅｙ ＝ ———————— ｋｎｏｗｌｅｇｅ
可见，金钱（ｍｏｎｅｙ）与知识（ｋｎｏｗｌｅｇｅ）成反比。 作同样的功（ｗｏｒｋ），知识越少，金钱越多；当知识趋于０时，
金钱趋于无穷大。证毕。
47有人在乡间路上遇牧者赶羊，对牧羊人说：“我和你打赌，如果我猜中羊群的数目，得一羊，如猜
错，你得一百元。”牧者欣然同意。路人说出一个数目，973只，牧者大为惊奇，因为确是羊群的数目。于是，路人取得他应得的“奖品”，拜别牧者，扬长而
去。
走不了两步，牧者赶上来，说“让我有个扯平的机会———我们再赌一场吧？”路人马上同意，问牧者要猜什么？牧者说猜路人的身份，路
人无异议。牧者一猜中的：“你是在官方智囊机构工作的经济学家！”路人吓得面无人色，牧人怎会知道他的职业？“这还不简单，”牧者揭开谜团，“因为你抱走
的是牧羊狗而不是绵羊！”
48 爱因斯坦碰到三个朋友，他问A：“你的智商多高？”A答道：“201。”爱因斯坦颇为
吃惊，道：“201，我将不愁寂寞，因为你有资格和我谈论相对论。”又问B：“你的智商又有多少？”B道：“150。”爱因斯坦说：“那还不错，我们可煮
咖啡论天下事。”最后问C：“你又如何？” C答道：“75！”爱因斯坦想了一会说：“请问阁下对明年度财政赤字有何看法？”
49物以稀为贵。游客在食人族聚居的岛上旅行。路过一个人脑专卖店，见其橱窗有如下的价目表——
艺术家脑每磅9元；哲学家脑每磅12元；科
学家脑每磅15元；经济学家脑每磅219元。
游客因此得出经济学家的脑袋最受食家欢迎的结论，因为根据简单的供求律，市场需要殷切价格才会上
涨。
询之店东，哪知答案完全相反：“经济学家大多无脑，不知要多少个经济学家才有一磅脑，物以稀为贵，经济学家脑的价格因而较高！”
50甲乙两人乘气球升空遨游，因为风势很大，气球飘得很远，他们不知身在何方。
他们把气球下降至离地约20米，然后大声
问一路过路人：“请问我们在什么地方？”路人回答：“你们在气球里。”甲对乙说，此公肯定是经济学家，因为他的答案正确但一点用处都没有。路人听到甲的
话，大声叫道：“那么阁下必是商人！”
甲乙齐声说：“你说的没错，但你怎么知道？”路人说：“你们处于最有利的位置却不断抱怨！”
51一名经济学家到乡间度假，住在一家小客栈，他和客栈主人的女儿有染。
一年后，他旧地重游，见他的女友抱一刚出世不久
的婴儿，她说这是他们一夜风流的结晶。
经济学家说：“你为什么不一早通知我，我们可奉子成婚啊！”婴儿的母亲回答：“我们家里开会研究之后，
决定有一个私生子胜于有一个经济学家的儿子
52经济学家的办法
一个物理学家、一个化学家和一个经济学家漂
流到孤岛上，十分饥饿。这时海面上漂來一个罐头。物理学家说：“我们可以用岩石对罐头施以动量，使其表层疲劳而断裂。”化学家说：“我们可以生火，然后把
罐头加热，使它膨胀以至破裂。”经济学家则说：“假设我们有一个开罐头的起子……。”
53经济学家到明天才会知道为什么昨天预言
的事情在今天沒有发生。
54经济学家保罗•克鲁格曼的职业生涯存在一个规律：当他集中注意力于学术研究几年后，就会厌倦并想要服
务于政界；而当他从事政策制定一段时间以后，又会开始重新渴望做真正的研究。
55杜鲁门总统曾经恨恨地说：
“我希望找到一个只有一只手的经济学家！”
56经济学家就是这样一种人,他并不知道他所谈论的,但是,他让你觉得这是
你的错误.
57工程师、化学家和经济学家结伴旅行。有一晚，他们投宿一家小客栈。但是，客栈只剩下一间双人房，因此有一人必须睡
在柴房。
工程师自告奋勇去睡柴房。但是不久他又回来了，说柴房里有一只牛，而他是印度人，宗教不允许他在圣牛之旁睡觉。
于是，化学家说我去睡柴房。但是不久他也回来了，说柴房里有一头猪，而他是犹太人，不能睡在那样肮脏的动物旁边。
最后，只好经济学家去睡柴房。
过了一会，有砰砰的敲门巨响。工程师和化学家开门一看，门口站着一头牛和一头猪。
58 问：数学和经济学的分别是什么？
答：数学难以理解；经济学则莫名其妙。
59
莫斯科红场举行阅兵仪式。
在坦克、火箭各种武器和兵种列队经过主席台之后，是一队着黑衣的文职人员。
赫
鲁晓夫问：“他们是谁？”
克格勃头子答：“他们是经济学家，如果需要，我可派遣他们去美国，保证他们会把美国经济搞成一团糟。”
60经济学家是解释预测为什么失灵的专家。
62 排中律
三个计量经济学
家外出打猎，遇上一只大鹿。第一位扣动扳机，但未击中，左偏了一米。第二位计量经济学家随后射击，也未打中，右偏了一米。第三位先生没有开枪，但是却胜利
地欢呼道：“我们确定了它的位置，我们能逮住它了。”
63两个经济学家的遭遇
一个经济学家在沙漠里旅
行，遇到一个因缺水而濒死的年轻人。经济学家带有足够的水，这时恰好可以和青年做一个交易。但是水应该卖个什么价钱呢？显然此时一瓶水对于年轻人的效用是
极大的--几乎等于他的生命，因此年轻人应该为一瓶水付个好价钱。这样，经济学家就提出一瓶水的价格是一百万美元。然而，青年没那么多钱，他身上只有
100元。是否接受100元一瓶水的价格呢？经济学家不愿吃亏，他很聪明地想到另一个办法：他要青年和他签一份劳动合同，规定青年做他的佣人30年，报酬
是只管吃住。青年没有别的选择，只好签了协议。从此以后，经济学家就带着青年四处讲学，青年人在做佣人工作的同时也学到了一些所谓的经济学。过了快三十
年，有一天，当两人走在一处人际罕至的森林里时，经济学家不小心掉进一个深洞里，摔断了腿。他要仆人救他上去。这时，仆人也就是原来的青年也得到了交易的
机会。他应该为救人的服务定什么价钱呢？他为自己出价一百万美元。经济学家毫不迟疑地接受了这个价格，并且心里暗想：这个傻瓜，经济学还是没有学透，他即
使要价二百万美元我也会接受的，这次我赚了。
一个经济学家（和前面的经济学家不同，此人认为价格应由成本决定）在沙漠里旅行同样
地遇到一个因缺水而濒死的年轻人。经济学家带有足够的水，就卖给年轻人一瓶。考虑到将水带到沙漠里的费用，经济学家就提出一瓶水的价格是一美元。青年得救
了，他没有别的事情可做，就希望给经济学家做佣人。经过商量，他们签了一份劳动合同，规定青年做他的佣人30年，报酬是一百万美元。从此以后，经济学家就
带着青年四处讲学，青年人在做佣人工作的同时也学到了另一些所谓的经济学。过了快三十年，有一天，当两人走在一处人际罕至的森林里时，经济学家不小心掉进
一个深洞里，摔断了腿。他要仆人救他上去。这时，仆人为他救人的服务要价一美元。经济学家也得救了。
比较以上两个例子，从最后结果看，两个经
济学家都付出了一百万美元，但得到的却不相同。两个青年都得到了一百万美元，但付出的却不相同，因此效率有所不同。第一个例子中的年轻人虽然最后得到一百
万美元，但在那样的劳动合同下，很难想象他会情愿地做佣人，肯定工作效率不高。而经济学家当然知道他不心甘情愿，因此也要多花时间和精力做监督工作。而第
一个例子中的经济学家自认为在两次交易中都得到好处，但最后他付出的与后一例子中的经济学家一样多，得到的反而不如后一例子中的经济学家多。这种情况是怎
么发生的？
64理发师与经济学家
一天，一位理发师给一位教堂的牧师理发，理完后当牧师要给理发师付费时，
理发师拒绝了，他说：“您为上帝工作，我怎能收您钱呢？”第二天，理发师门口多了12部圣经。
一位警察找这位理发师理发，理发师再次拒绝收
费，他说：“您保护大众，我怎能收您费呢？”第二天，理发师门口多了12个甜圈圈。
一位经济学家来找这位理发师理发，理发师又一
次拒绝收费，他说：“您为大家的福利而工作，我怎能收您钱呢？”第二天理发师门口有12位经济学家等着他理发。
69什么是经济增长？
1980年R•里根与吉米•卡特竞选美国总统，争夺十分激烈，特别是经济问题是双方关注的重点。R•里根与吉米•卡特在电话辩论时说：“如果你的邻居失业
了，说明美国经济在衰退，如果你的亲人失业了，说明经济在萧条，如果卡特失业了，说明美国经济要增长。”
70经济学家的结论
英国首相邱吉尔说：“两个经济学家讨论一个问题，通常得出两种结论；如果其中一人为著名经济学家，结论必有三个以上。”
71经
济学家为何不满意？
当一切顺利运作时，经济学家仍不会满意，因为他们要知道这种运作是否符合经济学原理。
73经济学家的建议
一名经济学家到海边休假，发现一家渔民在用原始的方法捕鱼，过着日出而作、日落而息的原始生活，于是经济学家建议说：你应
去银行贷款，增加设备，扩大经营规模。渔民问：然后呢？经济学家说，扩大规模后，再进行资本积累，发展远洋捕捞，然后成立一家国际大企业。渔民问，再怎么
办？经济学家说，企业扩大后，你可以到大学去学经济管理专业，让人替你管理公司，你就可以到海边去休假享受了。渔民回答说：“我现在不正是这样吗？！”
74我是哈佛经济学博士毕业生
几名美国哈佛大学经济学研究生刚获得硕士学位，准备到校外喝酒庆祝一番，于是“打的”前往，在车
上几名经济学新人谈得甚欢，大谈其宏伟前程，并询问的士司机选择何种职业为好？出租车司机回答说，“小弟，我是哈佛经济学博士毕业的，干这一差事已经五年
了”。
76成为经济学家的诀窍
你只要教会鹦鹉说“供给”与“需求”，那么这个世界就会多一位经济学
家。
77经济学家的“比较优势”
一名经济学家与一名数学家在森林中散步，走着走着，突然碰到一头大黑熊，经济学家见
状，吓得面无人色，扭头就跑，数学家说：“你别跑了，我们跑不过黑熊的！”而经济学家则说：“我虽然跑不过黑熊，但我跑得过你！”
79不自私的经济学家
经济学的基本假设是人人具有“利己心”，即人们凡事都会从自身利益出发来采取相应的对策。而一位经济
学家对此提出异议，他认为，并不是每一个人都是如此，例如他就是不自私的人。
一次这位经济学家乘巴士（bus）上街购物，他刚一上车，就见一
漂亮女士起身，于是该经济学家连忙讲：“您坐下好了”。到了下一站，该小姐欲站起来，经济学家连忙说：“您不必起来”。又到了一站，这位小姐又想站起来，
这位经济学家说：“您坐下好了，不必为我让座”，而该小姐却说：“先生，我已错过三站了”。
81经济学家的思维
两名经济学家在学校道路上相遇。
甲问：“你夫人现在好吗？”
乙反问：“那要看比较什么而言？”
83用经济学家替代老鼠做实验较好
美国国家健康研究所（NIH）宣布今后将以经济学家代替白老鼠作试验，举国哗然，认为对经济学家太不公平
了。
但NIH罗列了四项理由，反对之声快速寝息。
1．研究人员喜欢白老鼠，不忍看见他们成为无辜的试验品。
2．经济
学家繁殖速度较快。
3．各地反对虐待动物协会并不反对这么做。
4．经济学家愿做那些白老鼠不愿做的实验。
84经济学家的咨询费
有一位知名经济学家开了一家咨询事务所，于是有人慕名前往咨询其收费情况。
顾客问：“请问贵经济学家的咨
询收费价格如何？”
经济学家回答说：“每个问题1000美元”，现在您可以问第二个问题了。
85美国加州巴克莱大学
一位经济学教授病故，升天，排在长龙末端，等候通过南天门进入天堂。
圣彼德在办公室外观望，见经济学家排在队伍的末尾，于是跑出来请他进办公
室休息。
经济学家受宠若惊，忙问其故。
圣彼德解释道：“我不过聊表敬老之心而已，从您开给客户的咨询时间表来看，阁下起码已达
193岁。”
86数学与经济学的差别
数学和经济学的分别在哪里？
数学难以理解；经济学则莫明其妙。
87什么是经济学家？
缺乏个性做不了会计师的人能成为经济学家。
经济学家是知道何以昨天的预测今天并不兑现的专
家。
经济学家往往理论多多而实践空乏，他们知道最少100种做爱方式，但没有一个女性朋友。
88僵化的经济学家
刚踏出校门的经济学专业毕业生上班后最常提出的问题是：“先生，你的牛排要几成熟？”
89上帝的专业
经济学家、哲
学家、生物学家和建筑师讨论什么是上帝的专业。
哲学家说上帝是哲学家，因为他为世人定下了做人的标准；但生物学家反对，他指出上帝创造万物，
因此是生物学家。
建筑师不同意，他说，“创世记”上说“上帝创造天地”，因此它是建筑师。
经济学家推翻了所有上述的说法，他说，
在有天地之前，一切是混沌混乱的，若上帝不是经济学家，厥克臻此（为什么会如此）？！
90两类预测者
经济学家常作两
类预测。
其一是不知所谓。
其二是不知“不知所谓”。
91要看情况而定
经济学家的儿子和数学
家的儿子是同班同学。一天，教师提出这样的问题：“如果一个人一只铲，在10天内掘一水渠，请问10个人持一只铲，需要多少天才能掘好同样的水渠？”
教师问数学家的儿子，答案是十天。
教师问经济学家的儿子，答案是“要看情况而定”（It all depends）。
92经济学家的语言
加拿大有一小撮人，要求独立，不说英语，而说一种根本无人了解的语言；在美国亦有这类人，他们便是经济学家。
93盲人世界，节约能源
神父、心理学家和经济学家三人结伴打高尔夫。
比他们先进场的一对球手，打球进度缓慢。
到了第八洞的时候，三人组已很不耐烦，故意大声“投诉”，希望那组打得慢条斯理的，闻弦歌知雅意，加快打球速度。
神父说：“圣母玛利亚，我
祈求他们多学一些基本功夫才进场 。”
心理学家说：“我深信有的人喜欢慢打。”
经济学家说：“我真没想到要花这么长时间才打完一
个洞。”
到了第九洞时，三人组已忍无可忍。
心理学家走上前，要求二人组的球僮，请他们让路，因为他们：“阻碍我们的进度”。
球僮说没问题。跟着解释他们何以打得很慢的原因，原来他们是前消防员，在一次救火行动中被灼伤成为盲人！神父和心理学家都有悔意，各自说了一番适合其身
分的抱歉话。
经济学家想了一会儿，对球僮说：“这个问题不难解决，请他们今后在晚间来打球就行，因为盲人世界，可以节约能源。”
94无用的答案
学生问：选读经济学和财务学有何分别？
经济学家答：机会成本不同。
95毕业证的作用
问：为什么经济学家常把毕业证书贴在汽车挡风玻璃的后面？
答：如此这般，他们便可把汽车停泊在“弱智人士”的专用停车位上。
96无关紧要，但争论不休
法官要开庭审一宗醉酒驾车案，需要一个陪审团，但时间不凑巧，没有合格人士在场，最后只好请数位刚好来法院作“专
家证人”的经济学家当陪审员。
审讯过程大约十分钟，事实非常明显，被告醉酒驾车，犯了罪。
但陪审员商讨了三个小时，仍未达致共
识；法官等得不耐烦，派执达吏去催促。
一会儿，执达吏回报大老爷：“陪审员各抒已见，仍在辩论谁应作为陪审团主席！”
97经济学家的声誉
（1）一位著名评论家说：“瑞典皇家学院应当不再颁赠诺贝尔经济学奖。”
（2）一位从政者私下说：“我一生
中最快乐的时光，就是在没有认识经济学家之前。”
（3）罗伯特•索罗（MIT教授，《世纪之争》作者）认为：“公众对美国经济学家的尊敬，已
经到了战后的最低点。”
（4）美国总统R•里根怒责他的经济顾问：“专门讲反面话的人。”
（5）一位大企业家公开批评：“常常错
误的经济预测比没有预测更害人！”
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前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。 于是我被揪住就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是 比较难的事情。
可怜的chensh，谁让你趟这 个地雷阵？！色令智昏啊！
线性代数课程，无论你 从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四版），一上来 就介绍逆序数这个“前无古人，后无来者”的古怪概念，然后用逆序数给出行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题——把这行乘一 个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个 什么东西都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太“无厘头”了吧！于是开始有人逃课，更多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰 回路转来形容，紧跟着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场——矩阵来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号 把一堆傻了吧叽的数括起来，并且不紧不慢地说：“这个东西叫做矩阵”的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟 “学问”二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每搞得我灰头土脸，头破血流。 长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼子，揉揉额角就绕道走。
事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在国内外皆然。瑞典 数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。”， 然而“按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述 的，它是第二代数学模型，...，这就带来了教学上的困难。”事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了 “第二代数学模型”的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，对于从小一直在“第一代数学模型”，即以实用为导向的、具体的数学模 型中学习的我们来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇怪的。
大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后， 才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是 很基础的问题却并不清楚。比如说：
* 矩阵究竟是什么东西？向量可 以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的 新的复合 向量的展开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式如此有用？如果矩 阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立方阵，是不是更有用？
* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结 到矩阵的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？
* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不 要觉得这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩阵的任何计算规则都没有 直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这一切仅是巧合？
* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的？
* 对于矩阵转置运算AT， 有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有 (AB)-1 = B-1A-1。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类 似的性质？这仅仅是巧合吗？
* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵“相似”？这里的 “相似”是什么意思？
* 特征值 和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”来界 定？它们刻划的究竟是什么？
这 样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说“就这样吧，到此为止”一样，面对这 样的问题，很多老手们最后也只能用：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”来搪塞。然而，这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗 暴的、不讲道理的、莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被 迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑：怎么这么凑巧？
我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到“如何 能”、“怎么会”的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不 能够让提问者的疑惑得到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果 是后者，那么矩阵的这些本质是什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数学证明所能够解决的。像我们的教科书那样， 凡事用数学证明，最后培养出来的学生，只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。
自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的成功，这使得 我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是矛盾 的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮 助学生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变 成枯燥的规则的奴隶。
对于线性代数的类似上述所 提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，其中像前苏联的名 著《数学：它的内容、方法和意义》、龚升教授的《线性代数五讲》、前面提到的 Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的 blog里，但是现在看来，这些结论基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因为我觉得现在的理解比较成熟了，可以 拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有意义的。
因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整， 会不会中断，写着看吧。
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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己 的理解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。
首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开 始，一步步往上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那 赫空间；赋范线性空间中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。
总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是“存在一个集合，在这个集合上定义某 某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为什么要用“空间”来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。
我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空 观）的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知 道，这个三维的空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不 是微积分意义上的“连续”性的运动，
上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特有的性质，凡 是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，更 不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳 运动是空间的本质特征。
认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会 发现，在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空 间中允许的运动形式而已。
因此只要知道，“空间”是容纳运动的一个 对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性空间是个空间，那 么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：
1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？
2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？
我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截 了当的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和 坐标的办法，都可以表达为向量的形式。通常的向量空 间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：
L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个 分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基 线性无关就可以。这要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定 理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适 的基，用向量可以表示线性空间里任何一个对象。这里头大有文章，因为向量表面上只 是一列数，但是其实由于它的有序性，所以除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程序设计中数组最简单，却又威力无 穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里就不说了。
下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都 可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很 有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该 空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向 量的乘法施加运动。
是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）
可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看 成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空间中的对象 和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇 妙的性质，均与这个巧合有直接的关系。
接着理解 矩阵、、、
我们说“矩阵是运动的描述”，到现在 为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分 的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口口相传，差不多人人都 知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最快的光，也 是需要一个时间来逐点地 经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但就是缺乏极限观念，所以 解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我就不多说了。有 兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分，才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
不过在我这个《理解矩阵》的文章里，“运动”的概念不是微积分中的连续性的运 动，而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个“运动”，一下子就“跃迁” 到了B点，其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的“运动”，或者说“跃迁”，是违反我们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立 刻指出，量子（例如电子）在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们 观察不到。但是不管怎么说，“运动”这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是“跃迁”。因此这句话可以改成：
“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最后换用一个正牌 的数学术语——变换， 来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，所谓变换， 其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到 另一个点的跃迁。再比如说，仿射变换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量空 间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着“为了使用中方便”，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应用的图形变换，实际上是在仿 射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里相一个向量平 行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间 实际上是仿射空间。而仿射变换的矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学——几何工具算法详解》。
一旦我们理解了“变换”这个概念，矩阵的定义就变成：
“矩阵是线 性空间里的变换的描述。”
到
这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上一般是这么说的，在一个线性空间V
里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。线性变换的定义是很简单
的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同的对象x和y，以及任意实数a和b，有：
T(ax + by) = aT(x) +
bT(y)，
那么就称T为线性变换。
定 义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就 是从一个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个 点，而且可以变换到另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇 异矩阵来描述。而你用一个非奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义， 那么非方阵的情况怎么样？这个说起来就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我 觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的线性变换。 也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必一 开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。
接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空间里的坐标系就可以了。注意是坐标 系，不是坐标值，这两者可是一个“对立矛盾统一体”。这样一来，“选定一组基”就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。
好，最后我们把矩阵的定义完善如下：
“矩阵是线性空间中的线性变换 的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描 述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同 的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照 片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描 述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。
同样的，对于一个线性变换，只要 你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变 换本身。
但是这样的话，问题 就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换呢？如果是 同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不成了笑话。
好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了 不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：
A = P-1BP
线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按 照这个定义，同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。
而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间的一个变换关 系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。
这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！工科研究生课程中有 矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵式相似的， 为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不是 不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比 较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。
这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线 性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了 这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
这两篇文章发表于去年的4月。在第二部分结束的时候，我说：
“矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而
作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点
与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
这个留在下一篇再写吧。
因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。 ”
然而这一拖就是一年半。一年半以来，这两篇粗糙放肆的文章被到处转载，以至于在Google的搜索提示中，我的名字 跟“矩阵”是一对关联词汇。这对于学生时代数学一直很差的我来说，实在是令人惶恐的事情。数学是何等辉煌精致的学问！代表着人类智慧的最高成就，是人与上 帝对话的语言。而我实在连数学的门都还没进去，不要说谈什么理解，就是稍微难一些的题目我也很少能解开。我有什么资格去谈矩阵这样重要的一个数学概念呢？ 更何况，我的想法直观是直观，未见的是正确的啊，会不会误人子弟呢？因此，算了吧，到此为止吧，我这么想。
Posted by cloudly
